UchidaMizuki - Rの数値積分で円の面積を求める

はじめに

最近，R statsパッケージ¹のintegrate() 関数で一次元関数の数値積分ができることを知りました．そこで，この記事では，こちらの記事を参考に積分で円の面積を計算してみました．

半円を描く関数

半径\(r\)の半円を描く関数は式 1 と表せます．Rで書くとsemicircle() 関数のようになります．

\[ y = \sqrt{r^2 - x^2} \qquad (-r \le x \le r) \tag{1}\]

semicircle <- function(x, radius) {
  sqrt(radius^2 - x^2)
}

実装したsemicircle() 関数で半径\(r = 5\)の半円を描いてみましょう．

radius <- 5
curve(semicircle(x, radius), -radius, radius,
      asp = 1) # アスペクト比を1:1にする

数値積分で円の面積を求める

次に，stats::integrate() 関数を用いて，さきほど書いたsemicircle() を数値積分してみましょう．半径\(r = 5\)の場合，積分すると半円の面積\(\frac{1}{2}\pi r^2\)とほぼ等しくなることが確認できます．

# 半径を5とする
radius <- 5
integrate(semicircle, -radius, radius, # -radiusからradiusまでの範囲で積分する
          radius = radius)

39.26991 with absolute error < 2.5e-08

pi * 5^2 / 2

[1] 39.26991

そのため，円の面積を近似的に求めるcircle_area_approx()が以下のように書けます（数値積分の結果は，stats::integrate() 関数の戻り値のvalue に格納されています）．

circle_area_approx <- function(radius) {
  out <- integrate(semicircle, -radius, radius,
                   radius = radius)
  out$value * 2
}

circle_area_approx(5)

[1] 78.53982

最後に，半径\(1 \le r \le 10\)の範囲で近似値circle_area_approx()と理論値circle_area_true()（\(\pi r^2\)）を比較してみましょう．

計算の結果，近似値と理論値で円の面積がほぼ等しいことが確認できました．

circle_area_true <- function(radius) {
  pi * radius ^ 2
}

data <- data.frame(radius = 1:10)
data$circle_area_approx <- sapply(data$radius, circle_area_approx)
data$circle_area_true <- sapply(data$radius, circle_area_true)
knitr::kable(data)

radius	circle_area_approx	circle_area_true
1	3.141593	3.141593
2	12.566371	12.566371
3	28.274334	28.274334
4	50.265482	50.265482
5	78.539816	78.539816
6	113.097335	113.097335
7	153.938040	153.938040
8	201.061930	201.061930
9	254.469005	254.469005
10	314.159265	314.159265

おわりに

stats::integrate() 関数を使えば，簡単に一次元関数の数値積分ができることがわかりました．

注意点

stats::integrate() 関数では，\(-\infty \le x \le \infty\)の範囲での数値積分も可能ですが，\(10^{-6} \le x \le 10^6\)のような大きな値を代入すると数値積分が適切に行われませんのでご注意ください．

# OK
integrate(dnorm, -Inf, Inf)

1 with absolute error < 9.4e-05

# NG
integrate(dnorm, -1e6, 1e6)

0 with absolute error < 0

脚注

statsパッケージは，Rにデフォルトで入っているパッケージの一つです．↩︎